50 Soal Dan Jawaban Integral Pdf

Download File ---> https://urlin.us/2sUI57

Ketika akan menyelesaikan persamaan diferensial dari bentuk $\dfrac{dy}{dx}=f(x)$ dapat kita tulis dalam bentuk $dy=f(x)dx$. Secara umum, jika $F(x)$ menyatakan fungsi dalam variabel $x$, dengan $f(x)$ turunan dari $F(x)$ dan $c$ konstanta bilangan real maka integral tak tentu dari $f(x)$ dapat dituliskan dalam bentuk: \begin{align} \int f(x)dx & = F(x)+c \end{align} dibaca:"integral fungsi $f(x)$ ke $x$ sama dengan $F(x)+c$"

$\begin{align}\int f(x) & : \text{notasi integral tak tentu} \\F(x)+c & : \text{fungsi antiturunan} \\f(x) & : \text{fungsi yang diintegralkan (integran)} \\c & : \text{konstanta} \\d(x) & : \text{diferensial (turunan) dari}\ x \end{align}$

Pada buku-buku kalkulus disampaikan Teorema Dasar Kalkulus (integral tentu) secara sederhana dapat kita tuliskan seperti berikut ini:Jika fungsi $f$ kontinu (fungsi kontinu secara sederhana dapat dikatakan fungsi yang tidak terputus atau terpotong) pada interval $\left[a,b\right]$ dan fungsi $F$ anti turunan (anti diferensial) dari $f$, maka: \begin{align}\int \limits_{a}^{b} f(x) dx= F \left( b \right)-F \left( a \right) \end{align}

Untuk memantapkan beberapa aturan dasar integral fungsi diatas, mari kita coba beberapa soal latihan yang kita pilih secara acak dari soal-soal Ujian Nasional atau seleksi masuk perguruan tinggi negeri atau swasta?.

Dengan menerapkan aturan dasar integral $\int x^{n}\ dx=\dfrac{1}{n+1}x^{n}+c,\ n\neq -1$ dan manipulasi aljabar, maka kita akan peroleh: $\begin{align}&\int \left ( 12x^{2}-4x+1 \right )\ dx \\& = \dfrac{12}{2+1}x^{2+1}-\dfrac{4}{1+1}x^{1+1}+1x+C\\& = 4x^{3}-2x^{2}+ x+C\end{align}$

Dengan menerapkan aturan dasar integral $\int x^{n}\ dx=\dfrac{1}{n+1}x^{n}+c,\ n\neq -1$ dan manipulasi aljabar, maka kita akan peroleh: $\begin{align} &\int \limits \left ( 3x^{2}-5x+4 \right )\ dx \\& = \dfrac{3}{2+1}x^{2+1}-\dfrac{5}{1+1}x^{1+1}+4x+C\\& = x^{3}-\dfrac{5}{2}x^{2}+4x+C\\\end{align}$

Untuk menyelesaikan soal Integral di atas kita coba dengan menggunakan aturan dasar integral $\int x^{n}\ dx=\dfrac{1}{n+1}x^{n}+c,\ n\neq -1$ dan manipulasi aljabar, maka kita akan peroleh:$\begin{align}& \int \left (2x^{3}-9x^{2}+4x-5 \right ) \\& = \dfrac{2}{3+1}x^{3+1}-\dfrac{9}{2+1}x^{2+1}+\dfrac{4}{1+1}x^{1+1}-5x+C \\& = \dfrac{2}{4}x^{4}-\dfrac{9}{3}x^{3}+\dfrac{4}{2}x^{2}-5x+C \\& = \dfrac{1}{2}x^{4}-3x^{3}+2x^{2}-5x+C\end{align}$

Untuk menyelesaikan soal Integral di atas kita coba dengan menggunakan aturan dasar integral $\int x^{n}\ dx=\dfrac{1}{n+1}x^{n}+c,\ n\neq -1$ dan manipulasi aljabar, maka kita akan peroleh:$\begin{align}u &= 4x+1 \rightarrow x= \dfrac{1}{4} \left( u-1 \right) \\du &= 4 dx \\\dfrac{1}{4} du &= dx\end{align}$Apa yang kita peroleh di atas, kita coba substituskan ke soal dan kita lakukan manipulasi aljabar;$\begin{align}\int \limits x \sqrt{4x+1}\ dx &= \int \limits \dfrac{1}{4} \left( u-1 \right) \sqrt{u}\ dx \\&= \int \limits \dfrac{1}{4} \left( u-1 \right) \cdot u^{\frac{1}{2}}\ \dfrac{1}{4} du \\&= \dfrac{1}{4} \cdot \dfrac{1}{4} \int \limits \left( u^{\frac{3}{2}}-u^{\frac{1}{2}} \right)\ du \\&= \dfrac{1}{4} \cdot \dfrac{1}{4} \left[ \dfrac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}-\dfrac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} \right] + C \\&= \dfrac{1}{4} \cdot \left( \dfrac{1}{10} u^{\frac{5}{2}}-\dfrac{1}{6} u^{\frac{3}{2}} \right) + C \\&= \dfrac{1}{4} \cdot \dfrac{1}{60}u^{\frac{3}{2}} \left( 6 u^{1}-10 \right) + C \\&= \dfrac{1}{4} \cdot \dfrac{1}{60}\left( 4x+1 \right)^{\frac{3}{2}} \left( 6 \left( 4x+1 \right)-10 \right) + C \\&= \dfrac{1}{4} \cdot \dfrac{1}{60}\left( 4x+1 \right)^{\frac{3}{2}} \left( 24x+6 -10 \right) + C \\&= \dfrac{1}{4} \cdot \dfrac{1}{60}\left( 4x+1 \right)^{\frac{3}{2}} \left( 24x-4 \right) + C \\&= \dfrac{1}{60}\left( 4x+1 \right)^{\frac{3}{2}} \left( 6x-1 \right) + C \\\end{align}$

Untuk menyelesaikan soal Integral di atas kita coba dengan menggunakan aturan dasar integral $\int x^{n}\ dx=\dfrac{1}{n+1}x^{n}+c,\ n\neq -1$ dan manipulasi aljabar, maka kita akan peroleh: $ \begin{align}& \int \limits \left ( 2x-\dfrac{1}{2x} \right )^{2} dx \\& = \int \limits \left ( 4x^{2}-2+\dfrac{1}{4x^{2}} \right ) dx \\& = \int \limits \left ( 4x^{2}-2+\dfrac{1}{4}x^{-2} \right ) dx \\& = \dfrac{4}{2+1}x^{2+1}-2x+\dfrac{\frac{1}{4}}{-2+1}x^{-2+1} + C \\& = \dfrac{4}{3}x^{3}-2x-\dfrac{1}{4x}+C\end{align} $

Untuk menyelesaikan soal Integral di atas kita coba dengan menggunakan aturan dasar integral $\int x^{n}\ dx=\dfrac{1}{n+1}x^{n}+c,\ n\neq -1$ dan manipulasi aljabar, maka kita akan peroleh:$ \begin{align}f \left( x \right) &= \int x^{2}\ dx \\&= \dfrac{1}{2+1}x^{2+1}+c \\ &= \dfrac{1}{3}x^{3}+c \\\hlinef \left( 2 \right) &= \dfrac{1}{3}(2)^{3}+c \\-\dfrac{19}{3} &= \dfrac{8}{3}+c \\-\dfrac{19}{3} -\dfrac{8}{3}&= c \\ -\dfrac{27}{3} &= c \\ -9 &= c \\ \hlinef \left( x \right) &= \dfrac{1}{3}x^{3}+c \\&= \dfrac{1}{3}x^{3} -9\end{align} $

Untuk menyelesaikan soal Integral di atas kita coba dengan menggunakan aturan dasar integral $\int x^{n}\ dx=\dfrac{1}{n+1}x^{n}+c,\ n\neq -1$ dan manipulasi aljabar, maka kita akan peroleh:Untuk $\int f\left( x \right)\ dx=\dfrac{1}{4}ax^{2}+bx+c$ dapat kita tentukan $ f\left( x \right) =\dfrac{1}{2}ax +b$

Untuk menyelesaikan soal Integral di atas kita coba dengan menggunakan aturan dasar integral $\int x^{n}\ dx=\dfrac{1}{n+1}x^{n}+c,\ n\neq -1$ dan manipulasi aljabar, maka kita akan peroleh: $ \begin{align}& \int \limits \left ( \dfrac{-16-6x^{4}}{x^{2}} \right ) dx \\& = \int \limits \left ( \dfrac{-16}{x^{2}} - \dfrac{6x^{4}}{x^{2}} \right ) dx \\& = \int \limits \left ( -16 x^{-2} -6x^{4-2} \right ) dx \\& = \int \limits \left ( -16 x^{-2} -6x^{2} \right ) dx \\& = \dfrac{-16}{-2+1} x^{-2+1} -\dfrac{6}{2+1}x^{2+1}+C \\& = 16 x^{-1} -2x^{3}+C \\& = \dfrac{16}{x}-2x^{3}+C\end{align} $

Untuk menyelesaikan soal Integral di atas kita coba dengan menggunakan aturan dasar integral $\int x^{n}\ dx=\dfrac{1}{n+1}x^{n}+c,\ n\neq -1$ dan manipulasi aljabar, maka kita akan peroleh:$ \begin{align} & \int \dfrac{3 \left( 1-x \right)}{1 + \sqrt{x}}\ dx \\&= \int \dfrac{3 \left( 1-x \right)}{1 + \sqrt{x}}\ \times \dfrac{1 - \sqrt{x}}{1 - \sqrt{x}}\ dx \\&= \int \dfrac{3 \left( 1-x \right)\left( 1 - \sqrt{x} \right)}{1 - x}\ dx \\&= 3 \int \left( 1 - \sqrt{x} \right) dx \\&= 3 \left( x - \frac{2}{3} x \sqrt{x} \right) + C\\&= 3 x - 2x \sqrt{x} + C \end{align} $

Untuk menyelesaikan soal Integral di atas kita coba dengan menggunakan aturan dasar integral $\int x^{n}\ dx=\dfrac{1}{n+1}x^{n}+c,\ n\neq -1$ dan manipulasi aljabar, maka kita akan peroleh:$ \begin{align} & \int \dfrac{x^{2}-\sqrt{x}}{x}\ dx \\&= \int \left( \dfrac{x^{2}}{x}-\dfrac{\sqrt{x}}{x} \right)\ dx \\&= \int \left( x - x^{-\frac{1}{2}} \right)\ dx \\&= \dfrac{1}{2}x^{2} -2x^{ \frac{1}{2}} +C \\&= \dfrac{1}{2}x^{2} -2\sqrt{x} + C\end{align} $

Untuk menyelesaikan soal Integral di atas kita coba dengan menggunakan aturan dasar integral $\int x^{n}\ dx=\dfrac{1}{n+1}x^{n}+c,\ n\neq -1$ dan manipulasi aljabar, maka kita akan peroleh: $ \begin{align}& \int \limits \left ( \dfrac{x^{4}-1}{x^{3}+x} \right )^{2} dx \\& = \int \limits \left ( \dfrac{ \left( x^{2}-1 \right)\left( x^{2}+1 \right)}{x \left( x^{2}+1 \right)} \right )^{2} dx \\& = \int \limits \left ( \dfrac{ \left( x^{2}-1 \right) }{x } \right )^{2} dx \\& = \int \limits \left ( \dfrac{ x^{2} }{x }-\dfrac{ 1 }{x } \right )^{2} dx \\& = \int \limits \left ( x-x^{-1} \right )^{2} dx \\& = \int \limits \left ( x^{2}-2+x^{-2} \right ) dx \\& = \dfrac{1}{2+1}x^{2+1}-2x+ \dfrac{1}{-2+1}x^{-2+1} + C \\& = \dfrac{1}{3}x^{3}-2x- \dfrac{1}{x} + C \end{align} $

Untuk menyelesaikan soal Integral di atas kita coba dengan menggunakan aturan dasar integral $\int x^{n}\ dx=\dfrac{1}{n+1}x^{n}+c,\ n\neq -1$ dan manipulasi aljabar, maka kita akan peroleh:misal:$\begin{align} u & = 2-x^{3} \rightarrow 2-u = x^{3}\\\dfrac{du}{dx} & = -3x^{2} \\du & = -3x^{2}\ dx \rightarrow -\dfrac{1}{3}du = x^{2}dx \\\end{align}$Soal di atas, kini bisa kita tulis menjadi;$\begin{align}& \int \limits x^{5}\left ( 2-x^{3} \right )^{\frac{1}{2}}\ dx \\& = \int \limits x^{2} \cdot x^{3} \left ( u \right )^{\frac{1}{2}}\ dx \\& = \int \limits x^{3} \cdot u^{\frac{1}{2}}\ x^{2} dx \\& = \int \limits \left ( 2-u \right ) u^{\frac{1}{2}}\ \left (-\dfrac{1}{3}du \right ) \\& = -\dfrac{1}{3} \int \limits \left ( 2u^{\frac{1}{2}}-u^{\frac{3}{2}} \right ) \ du \\& = -\dfrac{1}{3} \cdot \left ( \frac{4}{3}u^{\frac{3}{2}}-\frac{2}{5}u^{\frac{5}{2}} \right ) + C \\& =-\dfrac{1}{3} \cdot \left ( \frac{4}{3}u^{\frac{3}{2}}-\frac{2}{5}u^{\frac{5}{2}} \right ) + C \\& =-\dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{1}{15}u^{\frac{3}{2}} \left ( 20 - 6u \right )+ C \\& =-\dfrac{1}{45}\left (2-x^{3} \right )^{\frac{3}{2}} \left ( 20 - 6\left (2-x^{3} \right ) \right )+ C \\& =-\dfrac{1}{45}\left (2-x^{3} \right )^{\frac{3}{2}} \left ( 20 - 12+6x^{3} \right )+ C \\& =-\dfrac{1}{45}\left (2-x^{3} \right )^{\frac{3}{2}} \left ( 8+6x^{3} \right )+ C \\& =-\dfrac{2}{45}\left (2-x^{3} \right )^{\frac{3}{2}} \left ( 4+3x^{3} \right )+ C\end{align}$ 2b1af7f3a8